बिंदुओं $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है:

यदि $2\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है,तो $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $ABC$ एक त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल $15 \sqrt{2}$ है और सदिश $\overrightarrow{AB}=\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$,$\overrightarrow{BC}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ और $\overrightarrow{AC}=6 \hat{i}+d \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं,जहाँ $d>0$ है। तो त्रिभुज $ABC$ की सबसे बड़ी भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1: \overrightarrow{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r}=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(3 \hat{i}+\hat{j}+p \hat{k}), \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r}=\delta(\ell \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}), \delta \in R$ तीन रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $L_1, L_2$ के लंबवत है और $L_3, L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है। तो वह बिंदु जो $L_3$ पर स्थित है,है

यदि $a \times b = b \times c \ne 0,$ जहाँ $a, b$ और $c$ समतलीय सदिश हैं,तो किसी अदिश $k$ के लिए

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ असमतलीय इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})=\frac{(\bar{b}+\bar{c})}{\sqrt{2}}$,तो $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।